materi belajar, soal ,rpp matematika: Oktober 2012

Melukis Grafik Trigonometri

y = a cos x + b sin x
a cos x + b sin x = K cos (x - a)
Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1
                               cos (x - a) = cos 0°                                            ® untuk x = a + n.360°
Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1
                              cos (x - a) = cos 180°
                        ® untuk x = a ± 180° + n.360°

NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0   ® bila cos (x-a) = 0
                    cos (x-a) = cos 90°
                ® untuk x = a ± 90° + n360°

grafik dibuat berdasarkan data-data diatas

Rumus-Rumus Dalam Trigonometri

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

$2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),$

$2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),$

$2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),$

$2 \sin A \times \sin B = - \cos (A + B) + \cos (A - B),$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$

SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin bcos(a - b) = cos a cos b + sin a sin btg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg²a

SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a

= 2 cos²a - 1

= 1 - 2 sin²a
tg 2a  =  2 tg 2a
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1

= 2 cos² ½na - 1

= 1 - 2 sin²½na
tg na =   2 tg ½na
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA

BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :
K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°

    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°

tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

Koordinat Cartesius,Koordinat Kutub titik

Koordinat Cartesius titik P(x_p , y_p)
Koordinat Kutub titik P (r, q)
r = jarak titik O ke P
a = sudut yang dibentuk antara garis hubung OP dengan sumbu x(+)

Terdapat hubungan

Kutub ® Cartesius
(r,q) Þ x_p = r cos q
y_p = r sin q

Cartesius ® Kutub
(x_p,y_p) Þ = Öx_p² + y_p²
tg q = y_p/x_p Þ q = ?

Dalil-dalil Segitiga (Trigonometri)

DALIL SINUS

a = b = c
sin a sin b sin d

LUAS SEGITIGA

a² = b² + c² - 2 bc cos a
b² = a² + c² - 2 ac cos b
c² = a² + b² - 2 ab cos d

DALIL COSINUS
Luas = ½ ab sin d

= ½ ac b

= ½ bc a

Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :

L = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c))
s = setengah keliling segitiga
= ½ (a+b+c)
LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA

1. Lingkaran Dalam Segitiga	Lingkaran L₁ menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalamdidapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC. Hubungan : rd = Ö[(s-a)(s-b)(s-c)]/s
2. Lingkaran Luar Segitiga	Lingkaran L₂ melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luardidapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL = a = b = c sin a sin b sin d rL = abc 4 Ö[s(s-a)(s-b)(s-c)]

3. Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalamsudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tigalingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC danmenyinggung sisi AC.

Hubungan :
rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC

= Ö s(s-b)(s-c)
(s-a)rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC

= Ö s(s-a)(s-c)
(s-b)rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB

= Ö s(s-a)(s-b)
(s-c)

Grafik Fungsi Trigonometri

GRAFIK FUNGSI

	*y = sin x* • Periode 360° • Batas nilai : - 1 £ sin x £ 1
	y = cos x • Periode 360° • Batas nilai : - 1 £ cos x £ 1
	*y = tan x* • Periode 180°• Batas nilai : -¥ £ tan x £ ¥

PERLUASAN CONTOH UNTUK GRAFIK SINUS

y = a sin nx • periode 360°/n

• batas nilai -a £ a sin nx £ a

PERGESERAN GRAFIK

y = a sin (nx - q) Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx

sejauh q/n ke kanan (-) / ke kiri (+)
y = a sin nx + c Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx

sejauh c satuan ke atas (+) / ke bawah (-)
Contoh :

	y = 3 sin 2x • Periode 180° • Batas nilai -3 £ 3 sin 2x £ 3
	y = 3 sin (2x - 60°) • Didapat dari grafik y = 3 sin 2x digeser ke kanan 30° • Periode 180° • Batas nilai : -3 £ 3 sin (2x - 60°) £3
	y = 3 sin 2x + 2 • Didapat dari grafik y = 3 sin 2x digeser 2 satuan ke atas • Periode 180° • Batas nilai : -1 £ 3 sin 2x + 2 £ 5

Sudut Istimewa Pada Trigonometri

SUDUT ISTIMEWA

	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin	0	1/2	½ Ö2	½ Ö3	1	0	-1	0
cos	1	½ Ö3	½ Ö2	1/2	0	-1	0	1
tan	0	1/3 Ö3	1	Ö3	~	0	~	0

Sudut (90 - a) sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = cot a	Sudut (90 + a) sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a tan (90 + a) = - cot a
Sudut (180 - a) sin (180 - a) = sin a Cos (180 - a) = - Cos a tan (180 - a) = - tan a	Sudut (180 + a) sin (180+a) = -sina Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a
Sudut (270 - a) sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a tan (270 - a) = ctg a	Sudut (270 + a) sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a
Sudut (360 - a) sin (360 - a) = - sin a Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a	Sudut (360 + a) sin (360 + a) = sin a Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a

Sudut Negatif
sin (-a) = - sin a
Cos (-a) = Cos a
tan (-a) = - tan a

Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV.

Keterangan :

Untuk a sudut lancip

Kuadran	Hubungan
I	a	atau	(90 - a)
II	(180 - a)		(90 + a)
III	(180 + a)		(270 - a)
IV	(360 - a)		(270 + a)

RINGKASAN
Sudut (180 ± a) ; (360 ± a) ® FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan kuadran
Sudut (90 ± a) ; (270 ± a) ® FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan kuadran

ads

Senin, 29 Oktober 2012