materi belajar, soal ,rpp matematika: materi belajar matematika kelas XI sma

Tampilkan postingan dengan label materi belajar matematika kelas XI sma. Tampilkan semua postingan

Minggu, 29 Desember 2013

Pembuktian Rumus Kuadratis (Rumus abc)

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
$y = 0 \,\!$ .
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
$y = ax^2 + bx + c \,\!$
dapat dituliskan menjadi
$y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!$ .
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!$
dan
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!$ .
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

$ax^2 + bx + c = 0 \,\!$

bagi kedua ruas untuk mendapatkan $a = 1$

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!$

Pindahkan $\frac{c}{a}$ ke ruas kanan

$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!$

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!$

Pindahkan $-\frac{b^2}{4ac}$ ke ruas kanan

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!$

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!$

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Pindahkan $-\frac{b}{2a}$ ke ruas kanan

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

sehingga didapat rumus kuadrat

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Minggu, 28 Oktober 2012

Pertidaksamaan Eksponen Matematika

Bilangan Pokok a > 0 ¹ 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
a^f(x) > a^g(x) ® f(x) > g(x) a^f(x) < a^g(x) ® f(x) < g(x) (tanda tetap)	a^f(x) > a^g(x) ® f(x) < g(x) a^f(x)< a^g(x) ® f(x) > g(x) (tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.

Misal : 1/8 = (1/2)³ = 2^-3

Contoh:

(1/2)^2x-5 < (1/4)^(1/2x+1)
(1/2)^2x-5 < (1/2)^2(1/2x+1)

Tanda berubah (0 < a < 1)

2x - 5 > x +2
x > 7

3^2x- 4.3^x+1 + 27 > 0
(3^x)² - 4.3¹.3^x + 27 > 0
misal : 3^x = p
p² -12p + 27 > 0
(p - 9)(p - 3) > 0

p < 1 atau p > 9
3x < 31 3x > 3²
x < 1 atau x > 2

perhitungan nilai dan pertidaksamaan logaritma

Perhitungan Nilai Loritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

$\log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ atau } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}$

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Pertidaksamaan Logaritma

Bilangan pokok a > 0 ¹ 1

Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
a log f(x) > b ® f(x) > ab a log f(x) < b ® f(x) < ab (tanda tetap)	a log f(x) > b ® f(x) < ab a log f(x) < b ® f(x) > ab (tanda berubah)
syarat f(x) > 0

Contoh:

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan

²log(x² - 2x) < 3
a = 2 (a>1) ® Hilangkan log ® Tanda tetap

- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4

x² - 2x < 2³
x² - 2x -8 < 0
(x-4)(x+2) < 0
-2 < x < 4
syarat : x² - 2 > 0
x(x-2) > 0
x < 0 atau x > 2

^1/2log (x² - 3) < 0
a = 1/2 (0 < a < 1) ® Hilangkan log ® Tanda berubah

x < - 2 atau x > 2

(x² - 3) > (1/2)0
x² - 4 > 0
(x -2)(x + 2) < 0
x < -2 atau x > 2
syarat : x² - 3 > 0
(x - Ö3)(x + Ö3) > 0
x < Ö3 atau x > Ö3

Persamaan logaritma dan manfaatnya

Manfaat Logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bⁿ = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidangtelekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerusataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.

Masalah : Menghilangkan logaritma

^alog f(x) = ^alog g(x) ® f(x) = g(x)

^alog f(x) = b ® f(x) =ab

^f(x)log a = b ® (f(x))^b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

xlog 1/100 = -1/8
x^-1/8 = 10^-2
(x ^-1/8) ^-8 = (10-2)^-8
x = 10 ¹⁶

^xlog 81 - 2 ^xlog 27 + ^xlog 9 + 1/2 ^xlog 729 = 6
^xlog 3⁴ - 2 ^xlog3³ + ^xlog² + 1/2 ^xlog 3⁶ = 6
4 ^xlog3 - 6 ^xlog3 + 2 ^xlog3 + 3 ^xlog 3 = 6
3 ^xlog 3 = 6
^xlog 3 = 2
x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)

^xlog (x+12) - 3 ^xlog4 + 1 = 0
^xlog(x+12) - ^xlog 4³ = -1
^xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4

²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p₁ = 3
²log x = 3
x₁ = 2³ = 8

p₂ = -1
²log x = -1
x₂ = 2^-1 = 1/2

notasi,batasan,sifat logaritma matematika

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c.

Notasi

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi ^blog a daripada log_ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log_ba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti ^elog a, log a sebagai ganti ¹⁰log a dan ld a sebagai ganti ²log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x.

BATASAN

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

^a log b = c ® a^c = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok    (a > 0 dan a ¹ 1)
        b = numerus            (b > 0)
        c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

^alog a = 1 ;^alog 1 = 0 ; ^alog aⁿ = n

SIFAT-SIFAT

1. ^alog bc = ^alogb + ^alogc
2. ^alog bc = c ^alog b
3. ^alog b/c = ^alog b -^alog c ® Hubungan ^alog b/c = - ^a log b/c
4. ^alog b = (^clog b)/(^clog a) ® Hubungan ^alog b = 1 / ^blog a
5. ^alog b.^blog c = ^a log c
6. a ^alog b = b
7. ^alog b = c ® ^{a^p}log b^p = c ® Hubungan : ^{a^q}log b^p = ^alog b^p/q
= p/q ^alog b

Keterangan:

Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya ¹⁰log 7 ]

logⁿx adalah cara penulisan untuk (logx)ⁿBedakan dengan log xⁿ = n log x

Contoh:

Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !

syarat :

numerus > 0
x² -4x - 5 < 0
(x-5)(x+1) < 0

-1 < x < 5

Sederhanakan

   2 ³log 1/9 + ⁴log 2     =      2(-2) + 1/2          =
³log 2. ²log 5 .^5²log 3³log 2.²log 5. ^5²log3

- 3 1/2                       =   -3 1/2    = -7
³log 3^1/2                           1/2

Jika ⁹log 8 = n   Tentukan nilai dari ⁴log 3 !

⁹log 8 = n
^3²log 2³ = n
3/2 ³log 2 = n
³log 2 = 2n
             3

⁴log 3 = ^2²log 3
         = 1/2 ²log 3
         = 1/2 ( 1/(³log 2) )
         = 1/2 (3 / 2n)
         = 3/4n

Jika log (a² / b⁴) Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) !

log (a²/b⁴)
log (a/b²)²
2 log ( a/b²)
log ( a/b² )
log ³Ö(b²/a)

= -24
= -24
= -24
= -12
= log (b²/a)^1/3
= 1/3 log (b² / a)
= -1/3 log (a/b²)
= -1/3 (-12) = 4

Persamaan eksponen Matematika

Persamaan eksponen Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah).

[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].

BENTUK-BENTUK

A. a^f(x) = a^g(x) ® f(x) = g(x)

® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.

contoh :

2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

Ö(8^2x-3) = (32^x+1)^1/4
(2³)^(2x-3)1/2 = (2⁵)^(x+1)1/4
2^(6x-9)/2 = 2^(5x-5)/4
(6x-9)/2 = (5x-5)/4
24x-36 = 10x+10
14x = 46
x = 46/14 = 23/7

3^x²-3x+2 + 3^x²-3x = 10
3².3^{^x²-3x}+3^{^x²-3x} = 10
9. ^{3^x²-3x} + 3^{^x²-3x} = 10
10. 3^x²-3x = 10
3^{x² - 3x} = 3⁰
x² - 3x = 0
x(x-3) = 0
x1 = 0 ; x2 = 3

3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

2^{2x + 2} - 2 ^x+2 + 1 = 0
2².2^2x - 2².2^x + 1 = 0
Misalkan : 2^x = p
2^2x = (2x)² = p²
4p² -4p + 1 = 0
(2p-1)² = 0
2p - 1 = 0
p =1/2
2^x = 2^-1
x = -1

3^x + 3^3-x - 28 = 10
3x + 3³/3^x - 28 = 10
misal : 3^x = p
p + 27/p - 28 = 0
p² - 28p + 27 = 0
(p-1)(p-27) = 0
p1 = 1 ® 3^x = 3⁰
x1 = 0
p2 = 27 ® 3^x = 3³
x2 = 3

B. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.

Contoh:

3^x²-x-2 = 7^x²-x-2
x² - x -2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1

C. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.

Contoh:

4^x-1 = 3^x+1
(x-1)log4 = (x+1)log3
xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
x (log4 - log3) = log 12
x log 4/3 = log 12
x log 4/3 = log 12
x = log 12/ log 4/3 = ^4/3 log 12

D. f(x) ^g(x)= f(x) ^h(x)® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.

Pangkat sama g(x) = h(x)

Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1^g(x) = 1^h(x) = 1

Bilangan pokok f(x) = -1Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.

ket :
g(x) dan h(x) Genap : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = 1
g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = -1

Bilangan pokok f(x) = 0Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.

ket : g(x) dan h(x) positif ® 0^g(x) = 0^h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)^3x-2 = (x² + 5x + 5)^2x+3

Pangkat sama
3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5

Bilangan pokok = 1
x² + 5x + 5 = 1
x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4

Bilangan pokok = -1
x² - 5x + 5 = -1
x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4

g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7
g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

Bilangan pokok = 0
x² - 5x + 5 = 0 ® x_{_5,6} = (5 ± Ö5)/2

kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0

Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}

Eksponen Matematika: ketentuan dan sifat

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: $x^y$ . Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti $2^3$ .

Bilangan $x$ disebut bilangan pokok, dan bilangan $y$ disebut eksponen. Sebagai contoh, pada $2^3$ , 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung $2^3$ seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga $2^3=2 \cdot 2 \cdot 2$ . Hasilnya adalah $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ . Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

$5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125$
$x^2=x\cdot{} x$
$1^x = 1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan $a^2$ . Sehingga

$x^2$ adalah persegi dari $x$

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan $a^3$ . Sehingga

$x^3$ adalah kubik $x$

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga: $x^{-1}=\frac{1}{x}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

$2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$