ads

Minggu, 28 Oktober 2012

Hubungan antar Himpunan Matematika


  1. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau É

    Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.

    Ditulis : A Ì Bf atau É A

    contoh:
    A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
    maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

    ketentuan :

    • himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
    • himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
    • himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

    HB = 2n

    contoh: 
    jika A = {a,b,c}
    maka himpunan bagian dari A adalah :
    {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f 

    seluruhnya ada 2³ = 8

    POWER SET 2s
    himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

    contoh:
    S = {a,b,c}
    2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }


  2. Himpunan sama ttttttttttt                      notasi : =

    Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A. 

    Ditulis A = B

    contoh:
    K = {x | x²-3x+2=0}
    L = {2,1}
    maka K = L


  3. Himpunan lepas ttttttttttt                      notasi : //

    Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

    Ditulis A // B

    contoh:
    A = {a,b,c}
    B = {k,l,m}
    Maka A // B

Subhimpunan

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.
  • {apel, jeruk}
  • {jeruk, pisang}
  • {apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atauhimpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.
 B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka \varnothing juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
\varnothing \subseteq A
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
A \subseteq A
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.
B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A

[sunting]
Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
A \supseteq B \equiv B \subseteq A

[sunting]
Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B
atau
A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.

[sunting]
Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah \mathcal{P}(A).
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka \mathcal{P}(A):
{ { },
{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga, pisang} }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}

Tidak ada komentar:

Posting Komentar