Hubungan antar Himpunan Matematika

1. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau É
   
   
   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
   
   
   Ditulis : A Ì Bf atau B É A
   
   
   contoh:
   A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
   maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
   
   
   ketentuan :
   
   
   • himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
   • himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
   • himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
   
   
   HB = 2n
   
   
   contoh: 
   jika A = {a,b,c}
   maka himpunan bagian dari A adalah :
   {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f 
   
   
   seluruhnya ada 2³ = 8
   
   
   POWER SET 2s
   himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
   
   
   contoh:
   S = {a,b,c}
   2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }
   
   
   
   
2. Himpunan sama ttttttttttt                      notasi : =
   
   
   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A. 
   
   
   Ditulis A = B
   
   
   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L
   
   
   
   
3. Himpunan lepas ttttttttttt                      notasi : //
   
   
   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
   
   
   Ditulis A // B
   
   
   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B

Subhimpunan

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.

• {apel, jeruk}
• {jeruk, pisang}
• {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atauhimpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka  juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

[sunting]

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

[sunting]

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.

[sunting]

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

 { { },

   {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},

   {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},

   {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},

   {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},

   {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.